代码随想录算法训练营第三十九天 | LeetCode62 不同路径、LeetCode63 不同路径 Ⅱ

今日任务：

LeetCode62 不同路径
LeetCode63 不同路径 Ⅱ

资料来源：

1 LeetCode62 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：


输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：


输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：


输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：


输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 $2 * 10 ^ 9$

很经典的两层数组的动态规划，还是按照动态规划五部曲走：

dp数组的含义和下标含义：从起点到达当前位置的可能的路径数量
确定递推公式：dp_array[i][j] = dp_array[i - 1][j] + dp_array[i][j - 1]
dp数组初始化：第一横行和第一竖行全部初始化为1，意味着从起点到达这些点的可能路径只有1条。由于n，m可能为1，所以dp_array[0][0]也得初始化为1
确定遍历顺序：先行后列还是先列后行没有影响
举例推导：以用例1为例，它的dp数组应该是：

1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
1 3 6 10 15 21 28

可见没有问题

1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7
1	3	6	10	15	21	28

提示

另外，这题还有一个数论的解法。首先，对于给定的m，n，从起点走到终点一定会走 $m + n - 2$ 步，而且其中一定有 $m - 1$ 步是向下走的，别管什么时候向下走。那也就是说，这题可以转化为一个数学问题：在 $m + n - 2$ 个数中，挑出 $m - 1$ 个数，可以有多少种挑法？结果就是 $C^{m - 1}_{m + n - 2}$ 。

python
class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 初始化
        dp_array = [[0] * n] * m
        for i in range(n):
            dp_array[0][i] = 1
        for i in range(m):
            dp_array[i][0] = 1

        # 开始dp
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp_array[i][j] = dp_array[i - 1][j] + dp_array[i][j - 1]

        return dp_array[-1][-1]

java
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp_array = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp_array[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp_array[0][i] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp_array[i][j] = dp_array[i - 1][j] + dp_array[i][j - 1];
            }
        }
        return dp_array[m - 1][n - 1];
    }
}

go
func uniquePaths(m int, n int) int {
    dpArray := make([][]int, m)
    for i := range dpArray {
        dpArray[i] = make([]int, n)
        dpArray[i][0] = 1
    }
    for i := range dpArray[0] {
        dpArray[0][i] = 1
    }

    for i := 1; i < m; i++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dpArray[i][j] = dpArray[i - 1][j] + dpArray[i][j - 1]
        }
    }
    return dpArray[m - 1][n - 1]
}

2 LeetCode63 不同路径 Ⅱ

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：


输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：


输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

~~不是，这题给的用例也太坑，完全看不出来这二维数组是按行存的还是按列存的气死个人。~~

这题的思路和上面的62是完全一致的，但是有的地方不一样。一方面是遍历dp数组的过程中，如果遇到障碍，说明这块是永远不可抵达的，所以要将其置为0；另一方面是初始化dp数组的过程中，如果遇到障碍，那么从这个障碍之后的所有位置都要置0，因为初始化的那一行/列本来就只有一条路，有个障碍在那里直接就把这一条路堵死了。

python
from typing import List

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0
        # 这题的obstacleGrid是按列存的 obstacleGrid[i]代表的是一列的数据 注意
        # 初始化
        for i in range(1, len(obstacleGrid)):  # 因为是一旦遇到障碍 后面赋值为0 所以不能从头开始循环 否则下一个初始化会有问题
            if obstacleGrid[i][0] == 0:
                obstacleGrid[i][0] = 1
            else:
                # 一旦遇到障碍 后面全部赋值为0
                obstacleGrid[i][0] = 0
                if i < len(obstacleGrid) - 1:
                    obstacleGrid[i + 1][0] = 1
        for i in range(len(obstacleGrid[0])):
            if obstacleGrid[0][i] == 0:
                obstacleGrid[0][i] = 1
            else:
                obstacleGrid[0][i] = 0
                if i < len(obstacleGrid[0]) - 1:
                    obstacleGrid[0][i + 1] = 1

        for i in range(1, len(obstacleGrid)):
            for j in range(1, len(obstacleGrid[0])):
                if obstacleGrid[i][j] == 1:
                    obstacleGrid[i][j] = 0
                else:
                    obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i - 1][j] + obstacleGrid[i][j - 1]

        return obstacleGrid[-1][-1]

java
class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        if (obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
        for (int i = 1; i < obstacleGrid.length; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 0) {
                obstacleGrid[i][0] = 1;
            } else {
                obstacleGrid[i][0] = 0;
                if (i < obstacleGrid.length - 1) {
                    obstacleGrid[i + 1][0] = 1;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < obstacleGrid[0].length; i++) {
            if (obstacleGrid[0][i] == 0) {
                obstacleGrid[0][i] = 1;
            } else {
                obstacleGrid[0][i] = 0;
                if (i < obstacleGrid[0].length - 1) {
                    obstacleGrid[0][i + 1] = 1;
                }
            }
        }

        for (int i = 1; i < obstacleGrid.length; i++) {
            for (int j = 1; j < obstacleGrid[0].length; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 0) {
                    obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i - 1][j] + obstacleGrid[i][j - 1];
                } else {
                    obstacleGrid[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        return obstacleGrid[obstacleGrid.length - 1][obstacleGrid[0].length - 1];
    }
}

go
func uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid [][]int) int {
	if obstacleGrid[0][0] == 1 {
		return 0
	}
	for i := 1; i < len(obstacleGrid); i++ {
		if obstacleGrid[i][0] == 1 {
			obstacleGrid[i][0] = 0
			if i < len(obstacleGrid) - 1 {
				obstacleGrid[i+1][0] = 1
			}
		} else {
			obstacleGrid[i][0] = 1
		}
	}
	for i := 0; i < len(obstacleGrid[0]); i++ {
		if obstacleGrid[0][i] == 1 {
			obstacleGrid[0][i] = 0
			if i < len(obstacleGrid[0]) - 1 {
				obstacleGrid[0][i + 1] = 1
			}
		} else {
			obstacleGrid[0][i] = 1
		}
	}
	for i := 1; i < len(obstacleGrid); i++ {
		for j := 1; j < len(obstacleGrid[0]); j++ {
			if obstacleGrid[i][j] == 1 {
				obstacleGrid[i][j] = 0
			} else {
				obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i - 1][j] + obstacleGrid[i][j - 1]
			}
		}
	}
	return obstacleGrid[len(obstacleGrid) - 1][len(obstacleGrid[0]) - 1]
}

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